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Der Mathematische Dreisatz

Der Dreisatz ist eine einfache mathematische Methode, um Proportionalitäten zwischen verschiedenen Größen zu berechnen. Er wird oft verwendet, um auf Basis von drei bekannten Werten (daher der Name „Dreisatz“) einen vierten, unbekannten Wert zu berechnen.

Die Grundidee des Dreisatzes basiert darauf, dass zwei Größen proportional zueinander sind. Das bedeutet, dass eine Größe steigt oder sinkt, wenn die andere Größe steigt oder sinkt – entweder im selben oder im umgekehrten Verhältnis.

Schritte im Dreisatz:

1. Aufstellen der Proportion: Du bestimmst, welche Größen zueinander in Beziehung stehen.
2. Berechnen eines Einheitswertes: Du berechnest, wie viel eine Einheit der einen Größe im Verhältnis zur anderen Größe ist.
3. Berechnen des gesuchten Wertes: Du multiplizierst den Einheitswert mit der gesuchten Menge.

Einfache Anwendung des Dreisatzes – Beispiel

Beispiel: Kosten für Äpfel

Du gehst auf den Markt und stellst fest, dass 3 kg Äpfel 6 Euro kosten. Nun möchtest du wissen, wie viel 5 kg Äpfel kosten. Hier kommt der Dreisatz ins Spiel.

1. Aufstellen der Proportion:

   • 3 kg Äpfel → 6 Euro
   • 5 kg Äpfel → x Euro (gesuchter Wert)

2. Einheitswert berechnen: Zuerst berechnen wir, wie viel 1 kg Äpfel kostet:

   1 kg = 6 Euro / 3 kg = 2 Euro

3. Berechnen des gesuchten Wertes: Nun multiplizieren wir den Preis pro Kilogramm (2 Euro) mit der Menge (5 kg), die wir kaufen möchten:

   5 kg = 2 Euro × 5 = 10 Euro

   Das heißt, 5 kg Äpfel kosten 10 Euro.

Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität

• Direkte Proportionalität: Wenn eine Größe größer wird, wächst auch die andere Größe proportional. Im Apfelbeispiel: Mehr Kilogramm Äpfel führen zu höheren Kosten. Beide Größen (Gewicht und Preis) steigen gemeinsam.

• Indirekte Proportionalität: Wenn eine Größe größer wird, sinkt die andere proportional. Zum Beispiel: Wenn du die Anzahl der Arbeiter auf einer Baustelle erhöhst, sinkt die Zeit, die sie benötigen, um die Arbeit zu erledigen.

Anwendung des Dreisatzes bei Prozenten: In Hundert, Aus Hundert, Von Hundert

Prozentrechnung ist ein häufiger Anwendungsbereich des Dreisatzes. „Prozent“ bedeutet "von Hundert" und wird häufig in Alltagssituationen angewendet.

1. In Hundert

"In Hundert" bedeutet, dass du von einer bestimmten Gesamtmenge den Anteil an einer neuen Menge bestimmen möchtest.

Beispiel: Ein Unternehmen hat 20 Mitarbeiter, und 4 von ihnen sind weiblich. Nun möchtest du wissen, wie viele Frauen es in einem Unternehmen mit 50 Mitarbeitern gäbe, wenn der Anteil der Frauen gleich bleibt.

• 20 Mitarbeiter → 4 Frauen
• 50 Mitarbeiter → x Frauen

1. Einheitswert: 4 Frauen / 20 Mitarbeiter = 0,2
2. Berechnen des gesuchten Wertes: 0,2 × 50 Mitarbeiter = 10 Frauen 
   Das heißt, in einem Unternehmen mit 50 Mitarbeitern wären es 10 Frauen.

2. Aus Hundert

"Aus Hundert" beschreibt die Umrechnung einer Prozentzahl in eine tatsächliche Menge.

Beispiel: Du weißt, dass in einem Geschäft ein Artikel 20 % Rabatt bekommt, und der Originalpreis beträgt 50 Euro. Wie viel sparst du bei diesem Kauf?

• 100 % → 50 Euro
• 20 % → x Euro

1. Einheitswert: 50 Euro / 100 = 0,5 Euro pro Prozent
2. Berechnen des gesuchten Wertes: 20 × 0,5 Euro = 10 Euro 
   Du sparst also 10 Euro bei einem Rabatt von 20 %.

3. Von Hundert

"Von Hundert" bezieht sich auf die Berechnung eines Prozentsatzes von einem bestimmten Wert.

Beispiel: Ein Sparbuch wirft 5 % Zinsen ab. Du hast 2000 Euro auf deinem Konto. Wie viel Zinsen erhältst du nach einem Jahr?

• 100 % → 2000 Euro
• 5 % → x Euro

1. Einheitswert: 2000 Euro / 100 = 20 Euro pro Prozent
2. Berechnen des gesuchten Wertes: 5 × 20 Euro = 100 Euro 
   Zinsen nach einem Jahr.

Zusammenfassung:

Der Dreisatz ist eine universelle Methode zur Berechnung von proportionalen Zusammenhängen. In der Prozentrechnung wird er bei „In Hundert“, „Aus Hundert“ und „Von Hundert“ verwendet, um Anteile, Prozente und absolute Werte zu berechnen.

• In Hundert: Du bestimmst den Anteil einer Gruppe in Bezug auf eine neue Gesamtmenge.
• Aus Hundert: Du berechnest den Anteil eines Rabatts oder Abzugs.
• Von Hundert: Du berechnest einen Prozentsatz von einer bestimmten Menge.

Der Dreisatz ist besonders praktisch in alltäglichen Situationen wie Preisberechnungen, Rabatten, Zinsen oder beim Arbeiten mit prozentualen Anteilen.